30 октября в Информационном центре атомной энергии Кирова пройдёт лекция «Золотое сечение – идеальная формула мироздания». Её прочитает кандидат физико-математических наук, доцент Вятского государственного университета Вера Варанкина. В частности, она расскажет о связи музыки и математики.
Как найти математику в природе и в искусстве, какова роль Пифогора в построении музыкальной гаммы, и как математическое образование помогло Льюису Кэрроллу написать легендарную «Алису в Стране чудес», – об этом в программе «Своё время» (12+) рассказала Вера Варанкина.
«Своё время» – совместный проект Радио Шансон в Кирове (12+) и портала Свойкировский.
Вера Ивановна, связь музыки и математики – почему вы выбрали именно эту тему?
– Меня всю жизнь тянет во все стороны. С одной стороны, я люблю искусство, живопись, музыку, природу. С другой стороны, ещё в раннем возрасте меня привлекала математика. В школе я была настолько увлечена решением задач, что после урока математики выходила, как после физкультуры. Мне приходилось приводить себя в чувства, чтобы освободиться от этой напряжённости. Как после тяжёлой работы.
И когда встал выбор, куда идти учиться, я решила: надо выбирать то, что сложнее. Что я больше всего уважаю из того, чем занимаюсь. Потому что было много всяких наклонностей. Меня звали всерьёз заниматься музыкой, народными промыслами, поступать в Ленинград по этому профилю. Но я решила, что математика – это самое интересное и уважаемое из всего, что меня интересует. И знаете, в чём плюс такого выбора? Все остальные увлечения сохранились в моей жизни. А вот если бы я оставила математику, боюсь, что мой круг сейчас был бы гораздо уже моих интересов.
Вы решили идти в трудности – важный и редкий навык. Чем вы, как творческий человек, разбавляли свою математическую жизнь?
– Мне кажется, это важный принцип, которого стоит придерживаться. Если нет трудностей, их надо создавать, потому что благодаря трудностям мы растём. А иначе будешь повторять всю жизнь «дважды два – четыре», и роста не будет.
Во-первых, я закончила институт с отличием и параллельно была аккомпаниатором – аккомпанировала хору. Кстати, у нас был дуэт с известным ведущим Владимиром Поповым. Я аккомпанировала не только студентам математического факультета, но и всех остальных факультетов. В период «Студенческой весны» учиться мне было некогда. Но это не помешало мне учиться на отлично.
И продолжать свою научную деятельность.
– Да, к слову, это не такое уж редкое явление, когда люди увлекаются математикой и чем-то ещё. Помню, в аспирантуре историки или литераторы посидели в библиотеке и потом с упоением читают стихи в компании. А ты сидишь в библиотеке весь день, голову ломаешь, а тебе и сказать-то другим людям не о чем. Ну кто поймёт, над чем ты там ломала голову? Слишком сложно. Возможно, это и заставляет вырываться ещё в какие-то области. Потому что жизнь не должна проходить мимо, она должна наполняться эмоциями и каким-то содержанием, помимо математики.
И тут мы можем вспомнить Альберта Эйнштейна.
– Да, он неплохо играл на скрипке и однажды принимал участие в концерте. Когда спросили: «А кто играет?» – «Эйнштейн». Его начали рекламировать, как знаменитого музыканта. И он потом с гордостью всем говорил: вот кто я – не физик, а музыкант.
Или, например, группа Queen. Там всемирно известный гитарист Брайан Мэй, у него бакалавриат по физике и математике, если не ошибаюсь. Он чуть ли не докторскую по астрофизике защитил.
– А вспомните наших бардов. Те же Татьяна и Сергей Никитины, Александр Городницкий. Знаем как музыкантов, а изначально-то у них очень хорошее, фундаментальное образование. Городницкий, например, учёный-геофизик и океанолог, а не только автор и исполнитель песен.
Вернёмся к вам. Как дальше складывалась ваша математическая и творческая жизнь? Почему вы решили пойти в аспирантуру?
– Чтобы расти дальше – писать диссертацию, защищать её. Я решила стать математиком. У меня были примеры наших уважаемых преподавателей, и мне хотелось стать такой.
Вы в каком-то конкретном направлении диссертацию замышляли?
– Я поступила в аспирантуру на кафедру математического анализа в Москве. Но там я не успела написать диссертацию, вернулась сюда и продолжила по другой теме с Евгением Михайловичем Вечтомовым. Это сейчас мой муж, доктор физико-математических наук, профессор, руководитель научной алгебраической школы, членом которой я тоже являюсь. Она называется «Функциональная алгебра и теория полуколец», а диссертация моя называется «Максимальные идеалы и делимость в полукольцах непрерывных функций». Вот я и говорю, просидишь весь день в библиотеке, а рассказать-то не о чем (смеется – прим.ред.).
Связь музыки и математики – это вообще о чём, как такое возможно?
– Математика – царица наук. И не только наук, можно сказать, что она царица природы, потому что законы математики прослеживаются и в природе, и в музыке. Я сейчас готовлюсь к лекции на тему золотого сечения и размышляю, нахожу собственные примеры. Всё-таки время такое – зима близко, и я стала размышлять над этой песней. Смотрите:
А зима будет большая…
Вот, гляди-ка, за рекой
Осень тихо умирает,
Машет желтою рукой.
Плачут мокрые осины,
Плачет дедушка Арбат,
Плачет синяя Россия,
Превратившись в листопад.
И, сугробы сокрушая,
Солнце брызнет по весне…
А зима будет большая –
Только сумерки да снег.
(автор стихов – Юрий Визбор)
Если сказать «А зима будет большая», что тут интересного? Но когда появляются длинные ноты, смысл этого слова становится совершенно очевидным. И кроме того, момент кульминации «боль-ШАЯ» приходится на точку золотого сечения. Получается, что вся эта песня разбита на короткие фразы с кульминационными моментами в точке золотого сечения. Видите, как интересно.
Это неочевидная истина, пока ты этого не измеришь, не увидишь, что тут особенного. А оказывается, вот он, секрет успеха, привлекательности и эстетики.
Для чего было создано золотое сечение в архитектуре, в музыке? Почему нас это так привлекает?
– Это такая экспериментальная математика. Вообще математика же вначале возникла по правилу: до тебя так делали. А потом уже появились обоснования. И то, что золотое сечение является какой-то магической, притягательной силой, было замечено ещё во времена Пифагора. А потом это стало осознанно рассчитано.
Золотое сечение – это математическое соотношение двух неравных частей, при котором большая часть относится к меньшей так же, как сумма этих частей относится к большей. Это отношение примерно равно 1,618. Не буду долго объяснять, как это получается, но это было замечено художниками, скульпторами, архитекторами, поэтами и композиторами.
Если рассчитать ритм, количество строк, эти кульминационные моменты прослеживаются. Есть много исследований. Если мы посмотрим на строение тела, середина тела находится примерно на золотом сечении, ладонь, человеческое лицо – это опять канон. Одно лицо нам кажется красивым, другое нет. Оказывается, в красивых лицах как раз есть каноны золотого сечения.
Клод Дебюсси, если не ошибаюсь, намеренно выстраивал композицию своих произведений по принципу золотого сечения.
– Может быть, но это догадки. Потому что мы с вами всё время пользуемся золотым сечением, даже не замечая этого. Например, ваша банковская карточка – это как раз золотой прямоугольник, идеальное золотое сечение.
Вернёмся к музыке и математике. Расскажите, в чём ещё их взаимосвязь?
– Сохранились рукописи XV века, где про математику говорится, что это наука, которая включает в себя такие разделы, как арифметика, планиметрия, астрономия и музыка. То есть ещё в XV веке музыка считалась частью математики. Прислушайтесь к звукам природы. Там нет нот, есть какие-то мелодии, но даже воспроизвести их будет трудно. Те же птицы поют мимо нот.
Многих композиторов сейчас тоже сложно воспроизвести.
– Они всё-таки играют на музыкальных инструментах. И они играют по нотам. Что такое октава? Взять гитару, натянуть струну определённым образом и получится звук. Но почему он именно такой и зажимать струну, чтобы появились другие ноты? Этим занимался ещё Пифагор в V веке до нашей эры. Музыканты того времени создавали монохорд и слушали, какие созвучия приятны, какие диссонансы для нашего уха. И только опытным путём они пришли к квартам и квинтам. Интервалы появились у Пифагора, но это было тоже не окончательное решение, потом появился темперированный клавир, сторонником которого был Иоганн Себастьян Бах. И за всем этим стоит чистая математика.
Есть ещё лады или, например, арабская музыка, которая совершенно не по тем нотам играется, к которым мы привыкли. Там звук делится на более мелкие части.
– Сохранился рояль Одоевского, каждой октаве которого не 12, как на обычном фортепиано, а 19 клавиш. Потому что диезы – это движение по квинтам вверх, а бемоли – движение вниз. И они не совпадают в реальности. Людям, которые занимаются музыкой, я могу много удивительного рассказать. Вот, например, пианист не может воспроизводить точные звуки, которые идеально ложатся на наше ухо, а скрипач может, поэтому так ценится скрипичная музыка. Скрипачи обладают возможностью играть точные интервалы.
У скрипки на грифе нет делений на лады. У контрабаса тоже, то есть музыканты на этих инструментах самостоятельно находят, где какой звук.
– Да, им нужен идеальный слух, чтобы поймать нужный звук пальцем на доле миллиметра.
Я как-то руководила магистерской диссертацией, у меня был студент, который создал компьютерные программы, где пифагорейские лады создавались с другим расчётом. Я музыкант с хорошим слухом, сравниваю и понимаю, что не слышу разницы, настолько она мизерная. Надо иметь тончайший слух, чтобы её услышать. А при компьютерном звучании мы строго рассчитали длину волны и видим по расчётам, что звук отличается. Но на слух этого не понять. Кстати, великий пианист Станислав Рихтер, говорят, умудрялся чуть-чуть менять звук движением клавиши.
И получается, это всё влияет на наше восприятие, настроение.
– Так же, как золотое сечение. Мы не всегда знаем, что это оно, но почему-то нам нравится. Это скрыто, но лежит в основе восприятия красоты.
Я сейчас задумалась: красота математики не каждому открыта. Но вот интересно, автор книг «Алиса в Стране чудес» и «Алиса в зазеркалье» Льюис Кэрролл был математиком. И как математик, я вполне понимаю, откуда все эти неожиданности в его произведениях.
Или, знаете, на рубеже XIX-XX веков был такой выдающийся французский математик Жюль Анри Пуанкаре, который сказал об одном из своих учеников, что тот стал поэтом, а не математиком, потому что для математики у него фантазии не хватило.
Кто бы мог подумать.
– Я тут общалась со школьниками и решила рассказать им о кривых второго порядка. Если по-простому, это окружность, эллипс, парабола, гипербола. Что интересного? Во-первых, это такая протяженность во времени. Математика – это наука будущего. Никто из математиков вам не скажет, зачем он делает эту абстрактную математику. Но цивилизация движется вперёд и приходитк какой-то проблеме. А у математиков уже и аппарат готов для её решения, сколько раз бывало. Вот эти кривые второго порядка возникли в IV веке до нашей эры, как сечение конуса. Если конус, условный кулёк, разрезать поперёк, получится окружность. Под небольшим углом будет эллипс. Под бОльшим углом – парабола, а если разрезать совсем вертикально и направить кулёк вниз, будут две ветви гиперболы. Когда они стали использоваться? В эру космонавтики, потому что все небесные тела двигаются как раз по этим по небесным траекториям.
Как построить с помощью верёвочки и палочки эти четыре кривые: окружность, эллипс, параболу, гиперболу? Окружность – понятно. Фиксируешь один конец, другой ведёшь мелом вокруг. Эллипс – зажимаешь два конца верёвочки. Но я придумала, как построить параболу и гиперболу, меня так это радует! Представляете, эти же кривые. А есть ещё уравнение. И можно, написав уравнение, эту кривую построить. Смотрите, какое многообразие подходов. Это так удивляет и восхищает.
И это, кстати, «удочка» в сторону тех ребят, которые задумываются продолжить свою деятельность в математике.
– И увидеть красоту, которая скрыта на первый взгляд. Только когда начинаешь заниматься математикой всерьёз и у тебя соединяются, казалось бы, несоединимые вещи, это радует и вдохновляет.
Вы прекрасный пример для тех, кто хочет погрузиться в бесконечный, необъятный мир математики. Не просто сухие цифры, а творчество. Кстати, про бесконечность вы обещали рассказать.
– Тоже очень интересная тема, потому что с бесконечностью в реальной жизни мы дела не имеем. Но мы смело говорим это слово, знаем, что мир бесконечен. Как представить себе то, что он нигде не заканчивается? Даже рациональные числа. Вот представьте, есть два рациональных числа. Мы разделили отрезок на миллиард миллиардов равных кусочков, увеличили в миллиарды раз это изображение. И в точке их деления всё время будут получаться рациональные числа. А если сдвинули армаду, у вас столько же будет иррациональных чисел.
Как получают число Пи?
– Оно как раз иррациональное, его не будет среди этих чисел.
Или как сравнить? Вот, казалось бы, есть отрезок, разделили его пополам, вроде бы точек меньше стало. Но их ровно столько же. И в этом столько удивительного.
Популяризатор математики Дэвид Гильберт придумал задачки про гостиницу и гостей, иллюстрирующие этот процесс. В гостинице все места заняты. Сидит на ресепшене человек, приходит к нему гость, администратор говорит: мест нет. Потом подумал, расселил комнату и заселил гостя. Опять все места заняты. Пришли новые гости, опять разместил. И там много-много всяких вариантов ситуаций, как это делать. Конечно, речь идёт о гостинице, в которой бесконечно много мест. Они пронумерованы. Номер один, два, три, четыре, пять, шесть, семь и до бесконечности. Вот такой сказочный отель. Так что неудивительно, что Льюис Кэрролл придумал такую необычную, потрясающую сказку, в том числе, про бесконечность. Ведь там же какой-то неведомый мир спрятан, который удивляет. С конечными множествами всё иначе.
У меня в связи с этим возник вопрос. Я всё думаю, как это связать с музыкой. Когда звучит звук, как мы можем точно сказать, что он перестал звучать?
– Это, наверное, уже восприятие, органы чувств.
Вот. А может быть, он ещё продолжается?
– Может быть. И кто-то уже не слышит, а кто-то ещё слышит. Как звёзды – один видит, другой нет. Это уже восприимчивость.
Там, возможно, какие-то частоты, на которых мы звук уже не слышим?
– Может быть, и так. Мир наполнен звуками, которые, возможно, существовали тысячи лет. Ой, как интересно, видите, куда нас с вами привело?
В споре рождается истина. И ещё одну тему я хотела бы затронуть. Насколько я знаю, вы ещё и дизайнер по плетению из бумажной лозы.
– Да, у меня даже диплом есть.
У вас на шее украшение, у него есть начало и конец? То есть вы, как дизайнер, знаете, что есть. Но с точки зрения математики, этого начала и конца не видно.
– Но они там спрятаны.
Да, но такая вот иллюзия создается.
– Да, такой сплетённый шарик. Один из главных секретов плетения – правильно его завершать. Это, кстати сказать, чуть ли не математическая задача – как завершить плетение, чтобы точно повторить рисунок, и он нигде не сломался. Реально приходится думать и переделывать, потому что где-то сбиваешься.
Как вы преподаёте? Имея такой багаж знаний и навыков, как строите свои занятия?
– Во-первых, есть программа, от которой я не могу отклоняться. Я понимаю, что должна научить предмету и не всегда рассказываю так эмоционально, как сейчас. Но я, конечно, стараюсь и, если есть возможность так же поговорить про эти кривые второго порядка, я это сделаю. Когда вижу, что студенты устали, хочется чуть разнообразить урок и как-то их взбодрить.
Когда начинается весна или, например, День учителя, я им делаю подарок: прихожу на занятие с инструментом. В конце концов, надо же отвлекаться от учёбы. Возможно, благодаря этому даже привлекательность предмета станет больше. И мои бывшие студенты вспоминают, как они писали контрольную по математическому анализу, а я с их разрешения всю контрольную сидела и играла музыку.
---------
Выпуск программы «Своё время» подготовлен при содействии Информационного центра по атомной энергии Кирова.
Ведущая программы Вера Куклина
Какого цвета стихи Маяковского, как привить современным детям любовь к чтению, и за что учителя любят свою работу – об этом читайте в интервью учителя русского языка и литературы Кировского физико-математического лицея Анастасии Ветровой и учителя русского языка и литературы школы №11 города Кирова Антона Лузянина.